Code Quest

1948. gadā pasaule joprojām bija analoga vieta. Candid Camera un Ed Salivan tikko sāka savu garo darbību televīzijā; Džeka Benija radio šovam bija desmitiem miljonu klausītāju. Bet slikta uzņemšana bija dzīves fakts. Elektromagnētiskie traucējumi, fiziski šķēršļi starp pārraides torni un uztvērēju un citi avoti, ko inženieri sauc par troksni, regulāri traucēja Benija monologus vai Salivana viesu uzstāšanos. Lielākajā daļā apgabalu, vismaz dažās stacijās, cilvēki samierinājās ar sniegotiem attēliem vai statisku skaņu.

Klods Šenons, 1948. gads

Tomēr tajā pašā gadā Klods Šenons, SM ‘40, PhD ‘40, publicēja ievērojamu rakstu, kurā viņš matemātiski pierādīja, ka pat liela trokšņa klātbūtnē ir iespējams pārsūtīt informāciju praktiski bez kļūdām. Tā bija analogā pasaule, taču Šenona satriecošais secinājums bija viņa spējas digitāli domāt rezultāts. Šenons apgalvoja, ka informāciju jebkurā medijā var attēlot, izmantojot bināros ciparus vai bitus — vārdu, ar kuru viņa raksts iepazīstināja pasauli. Lai gan troksnis sakaru kanālā var sabojāt bitus, viņš paskaidroja, pievienojot papildu bitus, kas ir saistīti ar sākotnējiem bitiem ar zināmu algoritmu — kļūdu labošanas kodu — ļaus secināt sākotnējo secību.

Jo trokšņaināks kanāls, jo vairāk jāpievieno papildu informācija, lai būtu iespējama kļūdu labošana. Un jo vairāk papildu informācijas ir iekļauta, jo lēnāka būs pārraide. Šenons parādīja, kā aprēķināt mazāko papildu bitu skaitu, kas varētu garantēt minimālu kļūdu, un līdz ar to augstāko ātrumu, ar kādu ir iespējama datu pārraide bez kļūdām. Bet viņš nevarēja pateikt, kā varētu izskatīties praktiska kodēšanas shēma.

Pētnieki pavadīja 45 gadus, meklējot vienu. Visbeidzot, 1993. gadā pāris franču inženieru paziņoja par kodu kopumu — turbo kodus, kas sasniedza datu pārraides ātrumu, kas ir tuvu Šenonas teorētiskajai robežai. Sākotnējā reakcija bija neticība, bet turpmākā izmeklēšana apstiprināja pētnieku apgalvojumus. Tas atklāja arī vēl pārsteidzošāku faktu: kodi, kas ir tikpat labi kā turbo kodi, kuri pat balstījās uz tāda paša veida matemātisko triku, tika ieviesti vairāk nekā 30 gadus agrāk, MIT doktora disertācijā Roberta Galagera, SM. 57, ScD '60. Pēc gadu desmitiem ilgas nolaidības Galagera kodi beidzot ir atraduši praktisku pielietojumu. Tos izmanto satelīttelevīzijas un bezvadu datu pārraidei, un mikroshēmas, kas paredzētas to atšifrēšanai, var atrast komerciālajos mobilajos tālruņos.

Informācijas teorijas dzimšana

Galagers ieradās MIT 1956. gadā — tajā pašā gadā pats Šenons atgriezās kā profesors pēc 15 gadiem Bell Labs. Taču ne izredzes strādāt ar Šenonu lika viņam izvēlēties MIT, nevis Jēlu, kur viņš arī bija pieteicies absolvēšanai. Es biju armijā — pildīju bezjēdzīgu uzdevumu — un es patiešām ienīdu to, ko daru, saka Galagers, kurš pēc doktora grāda iegūšanas mācīja MIT vairāk nekā 40 gadus un joprojām konsultē maģistrantus kā emeritētais profesors Pētniecības laboratorijā. Elektronika. MIT sākās nedēļu agrāk nekā Jēla. Un es tik ļoti vēlējos izkļūt no armijas, ka tas tiešām bija mans vienīgais iemesls, kāpēc nācu uz MIT.

Galagers pat nebija pārliecināts, ka vēlas studēt informācijas teoriju — plaukstošo jauno disciplīnu, kas radās Šenona 1948. gada darbā. Bet pirms pievienošanās armijas signālu korpusam, arī Galagers vairākus gadus bija strādājis Bell Labs, kur trīs dienas nedēļā pavadīja klasē, mācoties par jaunākajiem sasniegumiem elektrotehnikā. Lai gan viņš nekad nebija saticis Šenonu, šī pieredze viņam palīdzēja atpazīt viņa sasniegumu apjomu. Es tikko uzskatīju viņu par sava veida dievu, saka Galagers.

Patiešām, līdz brīdim, kad Šenons pievienojās MIT fakultātei, viņš bija neliela slavenība. Jau 1953. gadā žurnālā Fortune publicētajā rakstā par informācijas teoriju bija teikts: 'Var būt nepārspīlēti teikt, ka cilvēka progress mierā un drošība karā ir vairāk atkarīga no informācijas teorijas auglīga pielietojuma, nevis no fiziskām demonstrācijām vai nu bumbās. vai spēkstacijās, ka Einšteina slavenais vienādojums darbojas.

Sabiedrības iztēli aizrāva ideja, ka informāciju visā tās daudzveidībā — tekstu, audio, video — var pārvērst tikai 1 un 0 secībās. Komerciālas digitālās ierīces vēl nepastāvēja, tāpēc cilvēkiem radās iespaids, ka 001001010101000101011101 varētu būt daļa no simfonijas, filmas daļa, krāsa vai rindiņa no grāmatas. Bet, kā Šenons norādīja savā dokumentā, viņa kolēģis Bell Labs Ralfs Hārtlijs bija izteicis līdzīgu ierosinājumu 20 gadus iepriekš. Raksta aspekts, kas valdzināja un turpina valdzināt Šenona kolēģus inženierus, bija ģeniālais veids, kā viņš pierādīja, ka ir jābūt kādam kodam, kas spēj nodrošināt datu pārraidi bez kļūdām līdz pat kanāla jaudai.

Lai saprastu, kā darbojas kļūdu labošanas kods, apsveriet personu, kas mēģina nosūtīt četru bitu ziņojumu trokšņainā kanālā. Ja trokšņa dēļ viens no bitiem pārvēršas pretējā virzienā, uztvērējs nevar zināt, ka ir radusies kļūda. Vienkārši atkārtojot ziņojumu, lai 0011 kļūtu par 00110011, šī problēma tiek atrisināta: tagad, ja viens bits pagriežas uz pretējo, saņēmējs zina, ka ir kļūda, jo abas ziņojuma versijas nesakrīt. Bet nav iespējams pateikt, kurš no tiem ir pareizs. Labāks veids, kā kodēt ziņojumu, varētu izmantot četrus papildu bitus, lai attēlotu informāciju par ziņojuma bitiem: piektais bits, piemēram, varētu norādīt, vai ziņojuma pirmajiem diviem bitiem ir vienādas vai atšķirīgas vērtības; sestais bits varētu darīt to pašu bitiem trešais un ceturtais, septītais bitiem pirmais un trešais, un astotais bits otrais un ceturtais. Ja viens no pirmajiem četriem bitiem tiek apgriezts, pēdējie četri var to identificēt; ja viens no pēdējiem četriem bitiem tiek apgriezts, pārējie trīs var sniegt pietiekami daudz informācijas, lai to kompensētu.

Tomēr Šenona raksts izvairās no šādām domām par to, kā faktiski izveidot kodus. Tā vietā tas tuvojas kļūdu labošanas jēdzienam, statistiski analizējot pilnībā nejauši atlasīto kodu vispārējās īpašības. Lai gūtu priekšstatu par viņa pieeju, varētu palīdzēt noskaidrot, kā to varētu izmantot mūsu hipotētiskajām astoņu bitu sekvencēm, kas kodē četru bitu ziņojumus.

Ir 16 iespējamie četru bitu ziņojumi, un Šenona metode katram no tiem piešķirs savu nejauši izvēlētu astoņu bitu sērijas numuru — tā koda vārdu. Saņēmējam, tāpat kā sūtītājam, būtu kodu grāmata, kas korelē 16 iespējamos četru bitu ziņojumus ar 16 nejaušiem astoņu bitu koda vārdiem. Tā kā ir 256 iespējamās astoņu bitu sekvences, ir 240, kas kodu grāmatā neparādās. Kāds, kurš saņem kādu no šīm 240 sekvencēm, zinās, ka datos ir iezagusies kļūda. Taču, kamēr 16 atļautie koda vārdi pietiekami atšķiras viens no otra, visticamāk, būs tikai viens, kas ir vistuvāk bojātajai secībai. Piemēram, ja gan 00000001, gan 11111110 ir derīgi koda vārdi, bet 00000011 nav, tad kāds, kurš saņem secību 00000011, var secināt, ka paredzētais koda vārds, visticamāk, ir 00000001 nekā 11111110.

Reālajā dzīvē, protams, neviens neuztraucas par tikai četru bitu ziņojumu pārsūtīšanu. Bet, izmantojot statistisko analīzi, Šenons varēja izdarīt secinājumus par jebkāda garuma kodētiem ziņojumiem, kas tika nosūtīti pa kanāliem ar jebkādu trokšņa līmeni. Jo īpaši viņš spēja precīzi kvantificēt gan nejauši atlasīto koda vārdu atšķirības pakāpi, gan iespējamību, ka bojāta secība atgādinās tikai vienu no tiem. Lai gan varbūtība, ka divas astoņu bitu sekvences būs līdzīgas, ir salīdzinoši liela, Šenons parādīja, ka, koda vārdiem kļūstot garākiem, līdzības iespēja eksponenciāli samazinās. Patiesībā viens no viņa pārsteidzošākajiem rezultātiem bija tas, ka gariem ziņojumiem lielākā daļa nejauši piešķirto koda vārdu būs gandrīz tikpat atšķirīgi viens no otra, cik vien iespējams. Tas nozīmē, ka gandrīz jebkura kodēšanas shēma — jebkurš šo vārdu ģenerēšanas veids — ļautu pārraidīt bez kļūdām trokšņainā kanālā ar gandrīz maksimālo ātrumu.

Bija vajadzīga liela intuīcija, lai domātu, ka pilnīgi nejaušs kods varētu būt vidēji labs kods, saka Deivids Fornijs, SM '63, ScD '65, bijušais Codex Corporation un Motorola viceprezidents, kurš atgriezās MIT 1996. gadā. kā asociētais profesors. Izrādās, ka tas ievērojami vienkāršo analīzi, jo tagad varat veikt vidējā gadījuma analīzi. Fornijs uz brīdi apstājas un piebilst: Nevarētu teikt, ka tas bija pavisam vienkārši: viņam bija jāizgudro vismaz dažas teorēmas, ja ne matemātikas nozares. Bet Galagers piekrīt. Par Šenona 1948. gada darbu viņš saka: Kad esat to studējis divus gadus, tas šķiet ļoti vienkārši. Tik daudzi cilvēki jums sacīs: 'Tas tiešām ir ļoti vienkārši.' Un pēc tam, kad jūs to sapratīsit, tas tā arī ir.

Neatvairāms izaicinājums

Šenona matemātiskajam informācijas aprakstam bija daudzas sekas. Viņa 1948. gada raksts arī ieviesa ideju par datu saspiešanu jeb vienas informācijas attēlošanu ar mazāku bitu skaitu; saspiešana ļauj tādām programmām kā WinZip vai StuffIt samazināt failus, lai tie nepārslogotu e-pasta serverus, un to izmanto, lai ietaupītu vietu diskdziņos. Informācijas teorija arī nostādīja kriptogrāfijas izpēti uz drošāka matemātiskā pamata; Patiešām, Galagers uzskata, ka Šenonas kara laika kriptogrāfijas darbs uzņēmumā Bell Labs noveda viņu pie viņa jaunās komunikācijas koncepcijas.

Tomēr līdz tam laikam, kad Šenons atgriezās MIT, viņš bija sācis just, ka entuziasms ap viņa teoriju pārsniedz pat tās ievērojamos nopelnus. 1956. gada rakstā ar nosaukumu The Bandwagon viņš minēja mēģinājumus piemērot informācijas teoriju tādās jomās kā bioloģija, psiholoģija, valodniecība, fundamentālā fizika, ekonomika, organizācijas teorija un daudzas citas, un apņēmās šajā situācijā ievērot mērenību.

Šenonas nepatika pret degpunktu robežojas ar atturību. Saskaņā ar Sanhosē štata universitātes Biznesa koledžas profesora Džoela Vesta (Joel West ‘79) teikto, kurš raksta grāmatu par informācijas teorijas attīstību, Šenons savu 22 gadu MIT laikā konsultēja tikai septiņus maģistrantus. Viņš bija diezgan kautrīgs un aizgāja pensijā, tāpēc, ja gribējāt viņu dabūt par uzraugu, jums patiešām bija jābūt diezgan agresīvam, saka Galagers. Es arī biju kautrīgs un aizgāju pensijā, un man nebija pietiekami daudz pašapziņas, lai pat ieietu un aprunātos ar puisi.

Kā skolotājai Šenonam bija maz pacietības pret pazīstamā garlaicību. Viņu daudz vairāk interesēja jaunais nekā vecais, saka Elvins Berlekamps '62, SM '62, PhD '64, matemātikas emeritētais profesors Kalifornijas Universitātē Bērklijā, kurš (kopā ar Galageru) bija Šenonas grāmatas līdzautors. pēdējais publicētais raksts.

Viņš nemācīja daudz, saka Galagers. Bet, kad viņš mācīja, tas bija kā pētniecisku runu lasīšana. Atceros, reiz viņš pasniedza kursu, kurā bija apmēram 25 lekcijas semestra laikā, un katra lekcija bija jauns pētījuma rezultāts. Viņš tos darīja vienu pēc otra un nekad neizdevās izdomāt kaut ko interesantu. Tas bija patiešām fantastisks periods.

Manuprāt, Šenona bija nedaudz nevietā akadēmiskajā vidē, saka Džeimss L. Masijs, SM 60, PhD 62, informācijas teorētiķis un ETH Cīrihes emeritētais profesors. Viņa īstais žanrs bija būt neatkarīgam pētniekam un darīt lietas savā ļoti individuālistiskā veidā.

Var arī gadīties, ka Šenonam vienkārši nepatika slavināšana. Berlekamps atceras, kad IEEE Informācijas teorijas biedrība uzaicināja Šenonu uzstāties ar lekciju un saņemt tās atklāšanas Šenonas balvu Izraēlā 1973. gadā. Es nekad neesmu redzējis nevienu, kam būtu vairāk tauriņu par viņu, viņš saka. Piecas minūtes pirms sarunas sākuma viņš ir pie bāra un ir diezgan nomākts. Viņš patiešām baidās kāpt uz skatuves un pievilt visus. Jo viņi, protams, sagaida Dievu, kas ir taisnība, un viņš zina, ka nevar darboties kā Dievs.

Bet, ja Šenons reti bija tiešs padomdevējs jaunajiem informācijas teorijas studentiem, viņš bija izvirzījis viņiem neatvairāmu izaicinājumu. Nejauša kodēšana praksē nekad nedarbotos: Šenona hipotētiskās kodu grāmatas lielums dubultojās ar katru ziņojuma papildu bitu. Kodgrāmatā vienai 1000 bitu datu paketei, kas pārvietojas pa internetu, būtu nepieciešams vairāk ierakstu nekā Visumā ir atomu. Bet jebkurš praktiskāks kodēšanas mehānisms, piemēram, sākotnējā ziņojuma atkārtošana vai papildu bitu pievienošana, kas apraksta ziņojuma bitus, bija līdzvērtīgs kādai nejaušai kodēšanas shēmai, jo tas ģenerētu tos pašus koda vārdus. Un, parādot, ka lielākā daļa izlases kodēšanas shēmu bija jaudas, Šenons piedāvāja cerību, ka arī viena no praktiskajām shēmām ir piemērota.

Netverami kodi

Tā vietā, lai izmantotu kodu grāmatu, lai saskaņotu koda vārdus un ziņojumus, praktiska kodēšanas shēma nodrošinātu veidu, kā skaitļošanas veidā iegūt ziņojumu no koda vārdiem. Matemātisku darbību sērija ar lielu precizitātes varbūtību varētu identificēt un labot kļūdas, iespējams, bojātā bitu secībā, kas saņemta pa trokšņainu kanālu.

Tā ir viena no kļūdu labošanas kodu īpatnībām, ka labs kodēšanas algoritms ne vienmēr nozīmē labu dekodēšanas algoritmu. Izmantojot statistisko analīzi, kas ir līdzīga Šenona analīzei, kodēšanas teorētiķi spēja parādīt, ka konkrētais kods ir tuvs kapacitātei — ka tas maksimāli palielinātu atšķirību starp koda vārdiem. Bet tas nenozīmēja, ka viņiem bija efektīvs veids, kā to atšifrēt.

No Šenona raksta publicēšanas līdz deviņdesmito gadu sākumam pētnieki ierosināja arvien labākus kodus, kā arī arvien labākus dekodēšanas algoritmus. Bet praktisks kods, kas tuvojas kapacitātei, palika nenotverams. Kodēšanas teorētiķu vidū kādreiz bija teiciens, saka Fornijs, ka gandrīz jebkurš kods ir labs, izņemot visus, ko mēs varam iedomāties.

Kodi, ko Galagers iesniedza savā 1960. gada doktora disertācijā, bija mēģinājums saglabāt daļu no Šenona hipotētiskās sistēmas nejaušības, nezaudējot dekodēšanas efektivitāti. Tāpat kā daudzi iepriekšējie kodi, Galagers izmantoja tā sauktos paritātes bitus, kas norāda, vai kādai citai bitu grupai ir pāra vai nepāra summas. Taču agrākie kodi paritātes bitus ģenerēja sistemātiski: pirmais paritātes bits varēja norādīt, vai ziņojuma bitu summa no viena līdz trīs bija vienmērīga; nākamais paritātes bits var darīt to pašu ziņojuma bitiem no diviem līdz četriem, trešais bitiem no trim līdz pieciem utt. Turpretim Galagera kodos korelācija starp paritātes bitiem un ziņojuma bitiem bija nejauša: pirmais paritātes bits varētu aprakstīt, piemēram, ziņojuma 4., 27. un 83. bitu summu; Nākamais var darīt to pašu ziņojuma bitiem 19, 42 un 65.

Galagers spēja matemātiski pierādīt, ka gariem ziņojumiem viņa pseidogadījuma kodi tuvojas kapacitātei. Izņemot to, ka mēs zinājām arī citas lietas, kas tuvojās kapacitātei, viņš saka. Nekad nebija jautājums par to, kuri kodi ir labi. Vienmēr bija jautājums par to, kādus dekodēšanas algoritmus jūs varētu izstrādāt.

Tieši tur Galagers veica savu izrāvienu. Viņa kodi izmantoja iteratīvo dekodēšanu, kas nozīmē, ka dekodētājs vairākas reizes iziet cauri datiem, padarot arvien precīzākus minējumus par katra bita identitāti. Ja, piemēram, paritātes biti apraksta bitu tripletus, tad uzticama informācija par jebkuriem diviem bitiem var sniegt informāciju par trešo. Galagera iteratīvās dekodēšanas algoritms ir mūsdienās visbiežāk izmantotais ne tikai viņa paša kodu atšifrēšanai, bet bieži arī turbo kodu atšifrēšanai. Tas ir arī atradis pielietojumu daudzās mākslīgā intelekta sistēmās izmantotajā statistiskajā argumentācijā.

Iteratīvās metodes ietver pirmo minējumu par to, kas varētu būt saņemtais bits, un piešķir tam svaru atkarībā no tā, cik tas ir uzticams, saka Fornijs. Tad varbūt jūs iegūsit vairāk informācijas par to, jo tas ir iesaistīts paritātes pārbaudēs ar citiem bitiem, un tādējādi jūs varat labāk novērtēt tā uzticamību. Galu galā, Fornijs saka, minējumiem būtu jāsaplūst visu ziņojuma fragmentu konsekventai interpretācijai.

Lai gan Galagers nebija spējis savākt drosmi, lai lūgtu Šenonu par savu padomnieku, viņš stāsta, ka, rakstot disertāciju, runājis ar Šenonu trīs vai četras reizes. Izņemot to, ka runāt ar Klodu trīs vai četras reizes bija kā runāt ar lielāko daļu cilvēku 50 reizes, viņš saka. Viņš bija kāds, kurš patiešām ļoti, ļoti ātri uztvēra idejas. Viņš nebija izcils visās tehniskajās detaļās. Bet, lai redzētu kaut kā struktūru, lai saprastu, kāpēc tam vajadzētu darboties, un lai redzētu, kas to varētu padarīt labāku, viņš noteikti bija gudrākais cilvēks, kādu esmu saticis.

Tomēr Šenons neparedzēja Galagera kodu panākumus. Es atceros, ka viņš tos uzskatīja par interesantiem, bet man nebija sajūtas, ka viņi viņu sajūsmināja, saka Galagers. Viņš saprot, kāpēc. Galagera kodi tuvojās kanāla jaudai, jo tie kļuva garāki; bet, kad tie kļuva ilgāki, arī dekodēšanas process kļuva sarežģītāks — pārāk sarežģīts tā laika datoriem. Kodēšanas pētnieki, protams, zināja, ka datori uzlabosies. Bet neviens nezināja, kam šie uzlabojumi dos priekšroku.

Neskatoties uz to, MIT nekavējoties nolīga Galageru kā mācībspēku, pamatojoties uz viņa disertāciju. Turpmākajos gados, kamēr viņa paša kodēšanas shēma nīkuļoja, viņš mācīja un vadīja izcilu studentu vilni, tostarp Masiju, Forniju un Berlekampu, kuru ieguldījumam kodēšanas teorijā bija tiešāka praktiska ietekme nekā viņa pašam.

Tomēr Galageru, šķiet, tikpat nesatricina viņa kodeksu ilgstoša nevērība, tāpat kā viņu nesenā atdzimšana — iespējams, tāpēc, ka viņš vienmēr bija izturējies tālredzīgi. Viņam ir prasme izgudrot lietas, kas snaudušas desmitiem gadu, līdz cilvēki pēkšņi saprot, ka tās ir diezgan labas lietas, saka Vincents Čans '71, MS '71, EE '72, PhD '74, elektrotehnikas profesors, kurš joprojām demonstrē viņa rakstāmgalda durvju plāksne no biroja, kuru viņš reiz koplietoja ar Šenonu. Čans atceras neseno apmeklējumu liela programmatūras uzņēmuma laboratorijās, kur pētnieks lepojās ar jaunu saspiešanas paņēmienu, kas ļautu video failiem aizņemt tikai simtdaļu vairāk atmiņas nekā tagad. Čans uzskatīja par pienākumu norādīt, ka Galagers šo paņēmienu ieviesa 1974. gadā. Viņš saka, ka daudzu šo ideju pārdomāšana prasa diezgan daudz laika, un brīdī, kad jūs tās pārdomājat, ir daudz, daudz iespēju. . Un jums patiešām ir ļoti rūpīgi un, iespējams, ilgu laiku jādomā, pirms izdomājat, kurš no tiem ir īstais. Bobs to dara daudz.

Tam piekrīt arī Muriela Médard ‘89, ‘90, MS ‘91, ScD ‘95, informācijas teorētiķe Elektronikas pētniecības laboratorijā. Viņa saka, ka Bobs neskraidīja apkārt, cenšoties publicēties un pārliecināties, ka viņu neuzņem. Piemēram, Médard atceras sarunu starp Galageru un ievērojamu jaunāku informācijas teorētiķi, kurš, aprakstot savu darbu, atsaucās uz nesen pierādītu teorēmu, uz kuru tas balstījās. Bobs sāk rakņāties pa lietām, kā viņš to dara, saka Medārs. Galu galā viņš izveidoja nobružātu viena sava dokumenta kopiju. Médard saka, ka viņam bija šis tīņainais pierādījums. Un tas bija kā zemsvītras piezīme. Bieza zemsvītras piezīme, bet zemsvītras piezīme. 'Vai viņi to nosauca?' 'Jā, Bob, tagad tā ir galvenā teorēma.'

Mūsdienās Galagera kodi ir pamatā pieejām, kas ir vistuvāk maksimālajam datu pārraides ātrumam konkrētam sakaru kanālam — tuvāk pat nekā turbo kodi. Papildus lietojumprogrammām telekomunikācijās viņi sāk aizstāt vecākus kodus, ko izmanto datu aizsardzībai diskdziņos un citās atmiņas ierīcēs.

Tādiem cilvēkiem kā Fornijs, kas strādāja MIT laikā, ko viņš sauc par kodēšanas teorijas zelta laikmetu, fakts, ka Šenona 1948. gada dokumentā publicētais izaicinājums ir izpildīts, ir nedaudz salds. Tie no mums, kas zina un mīl kodēšanu, nevēlas teikt, ka problēma ir pilnībā atrisināta, saka Fornijs. Bet tā ir taisnība, ka lielākā daļa cilvēku ir pārcēlušies uz citām lietām.

No 1950. līdz 1965. gadam MIT bija informācijas teorijas perēklis, saka Džoels Vests. Tas tiešām bija zelta laikmets.

paslēpties