211service.com
“Infinity Computer” precīzi aprēķina Sierpinski paklāja laukumu
Sierpinksi paklājs ir viens no slavenākajiem fraktāļu objektiem matemātikā. Tā izveide ir iteratīva procedūra. Sāciet ar kvadrātu, sadaliet to deviņos vienādos kvadrātos un noņemiet centrālo. Tas atstāj astoņus kvadrātus ap centrālo kvadrāta caurumu.
Nākamajā iterācijā atkārtojiet šo procesu ar katru no astoņiem atlikušajiem kvadrātiem un tā tālāk (skatiet iepriekš).
Viena interesanta problēma ir atrast Sierpinski trīsstūra laukumu. Skaidrs, ka tas mainās ar katru iterāciju. Pieņemot, ka sākotnējā kvadrāta laukums ir vienāds ar 1, laukums pēc pirmās iterācijas ir 8/9. Pēc otrās atkārtojuma tas ir (8/9)^2; pēc trešā ir (8/9)^3 un tā tālāk.
Tātad Sierpinski paklāja laukums pēc n iterācijām ir (8/9)^n. Tas ir vienkārši.
Bet kāds ir paklāja laukums pēc bezgalīgi daudzām iterācijām?
Parastajai matemātikai nav atbildes uz šo jautājumu, jo tai trūkst instrumentu bezgalības apstrādei. Tā vietā matemātiķi aplūko matemātiskās sistēmas īpašības un to, kā tā uzvedas, virzoties uz bezgalību. Viņiem pat ir daudz formālu rīku šo ierobežojumu izpētei. Bet ir jāpieņem īpašības bezgalībā.
Šajā gadījumā paklāja laukumam ir tendence uz nulli, jo iterāciju skaitam ir tendence līdz bezgalībai, tāpēc Sierpinski paklāja laukums ir nulle.
Tas daudziem matemātiķiem atstāj skābu garšu mutē. Iemesls ir tāds, ka Sierpinski paklāja laukumam tuvu bezgalībai jābūt ļoti jutīgam pret tā sākotnējo formu, neatkarīgi no tā, vai tas ir kvadrāts vai kāds cits raksts. Taču robežu atrašanas process izjauc šo uzvedību.
Piemēram, tā vietā, lai sāktu ar kvadrātu, iedomājieties, ka sāciet ar formu, kas atrodas augšējā kreisajā stūrī, un sauksim to par kvadrātveida virtuli. Kvadrātveida virtulis sastāv no astoņiem kvadrātiem, katrs ar malu garumu 1/3. Acīmredzot šī Sierpinksi paklāja laukumam ir tendence uz nulli, savukārt n ir tendence uz bezgalību.
Taču kvadrātveida virtuļu paklājs ir vienu soli priekšā tradicionālajam Sierpinski paklājam, taču tas pazūd tradicionālajā pieejā. Bezgalībā viņi tiek uzskatīti par vienlīdzīgiem.
Ja tas neizklausās ļoti nozīmīgi, iedomājieties, ka process notiek apgrieztā secībā, sākot no bezgalības un virzoties atpakaļ, līdz paklāja secībā tiek izveidots kvadrāts vai kvadrātveida virtulis vai kāda cita forma.
Tādā gadījumā katru formu var izveidot ar tādu pašu (bezgalīgu) soļu skaitu, tāpēc tās nav iespējams atšķirt. Tas ir nepārprotami absurds.
Šodien Jaroslavs Sergejevs, matemātiķis Kalabrijas Universitātē Itālijā, atrisina šo problēmu (un līdzīgu trīsdimensiju versiju, ko sauc par Mengera sūkli).
Dažus pēdējos gadus Sergejevs ir aizstāvējis jaunu matemātikas veidu, ko sauc par bezgalības skaitļošanu. Pamatideja ir aizstāt bezgalības jēdzienu ar jaunu skaitli, ko Sergejevs sauc par grossone, ko viņš raksta šādi:
Sergejevs sāk, pievienojot jaunu aksiomu reālo skaitļu aksiomai, ko viņš sauc par bezgalīgās vienības aksiomu. Tas ievieš grossone — bezgalīgo vienību.
Tā kā to regulē citas reālo skaitļu aksiomas, arī grosons uzvedas līdzīgi. Tātad ir iespējams reizināt grosonu, dalīt, pievienot un atņemt no tā, tāpat kā tas ir iespējams ar citiem reāliem skaitļiem.
Tas pēkšņi padara darbu bezgalībā daudz vienkāršāku, izmantojot skaitļošanas procesu, ko Sergejevs sauc par bezgalības datoru, kurā ir iebūvēta papildu aksioma. Grosona ieviešana dod iespēju skaitliski strādāt ar galīgiem, bezgalīgiem un bezgalīgi maziem lielumiem, viņš saka.
Lai parādītu tā spēku, viņš izmanto iepriekš minētos Sierpinski paklāju piemērus, atklājot, kā ir iespējams izsekot iterāciju skaitam bezgalībā, vienkārši saskaitot vai atņemot reālus skaitļus no grosona. Ja kvadrātu var izveidot ar grosone soļiem, kvadrātveida virtuli var izveidot ar -grossone mīnus 1- soļiem. Tādā veidā ir viegli atšķirt jebkuru formu paklāju secībā.
Tas izskatās ērti. Nespēja konsekventi sekot līdzi matemātiskiem procesiem bezgalībā vai tuvu tai, ir sarūgtinājusi matemātiķus un fiziķus gadsimtiem ilgi.
Tātad, ja Sergejevs ir atradis risinājumu, kas darbojas, tas noteikti ir ļoti nozīmīgs progress.
Atsauce: arxiv.org/abs/1203.3150 : Sjerpinska paklāja laukuma un Mengera sūkļa tilpuma precīzu bezgalīgi mazo vērtību novērtēšana