Jauns veids, kā vienkāršot kvadrātvienādojumus

Senie babilonieši bija ievērojams bars. Starp daudziem neparastiem sasniegumiem viņi atrada tagad slaveno matemātisko risinājumu nepatīkamam izaicinājumam: nodokļu nomaksai.

Īpaša problēma parastam strādājošam babilonietim bija šāda: ņemot vērā nodokļu rēķinu, kas ir jāmaksā par labību, par cik man vajadzētu palielināt sava lauka lielumu, lai to samaksātu?

Šo uzdevumu var pierakstīt kā kvadrātvienādojumu formā Ax2+Bx+C=0. Un tas tiek atrisināts ar šo formulu:

Mūsdienās, vairāk nekā 4000 gadus vēlāk, miljoniem cilvēku prātā ir iegravēta kvadrātiskā formula, pateicoties matemātikas mācīšanas veidam uz planētas.

Taču daudz mazāk cilvēku var iegūt šo izteicienu. Tas ir saistīts arī ar matemātikas mācīšanas veidu — parastā atvasināšana balstās uz matemātisku triku, ko sauc par kvadrāta aizpildīšanu, kas nebūt nav intuitīvs. Patiešām, pēc babiloniešiem matemātiķiem bija vajadzīgi daudzi gadsimti, lai pakluptu uz šo pierādījumu.

Pirms un pēc tam matemātiķi ir atraduši daudzus citus veidus, kā iegūt formulu. Taču tie visi ir arī viltīgi un neintuitīvi.

Tāpēc ir viegli iedomāties, ka matemātiķi noteikti ir izsmēluši šo problēmu. Vienkārši nevar būt labāks veids, kā iegūt kvadrātisko formulu.

Ienāciet Po-Shen Loh, matemātiķis Kārnegija Melona Universitātē Pitsburgā, kurš ir atradis vienkāršāku veidu — tādu, kas, šķiet, ir palicis nepamanīts šos 4000 gadus.

Loa pieeja nepaļaujas uz laukuma pabeigšanu vai citiem sarežģītiem matemātiskiem trikiem. Patiešām, tā ir pietiekami vienkārša, lai darbotos kā vispārēja metode, kas nozīmē, ka studentiem vispār nav jāatceras formula. Viņš saka, ka atvasinājums var demistificēt kvadrātisko formulu studentiem visā pasaulē.

Jaunā pieeja ir vienkārša. Tas sākas, novērojot, ja kvadrātvienādojumu var faktorizēt šādi:

Tad labā puse ir vienāda ar 0, ja x=R vai ja x=S. Tad tās būtu kvadrātiskās saknes.

Labās puses reizināšana dod

Tas ir taisnība, ja -B=R+S un kad C=RS.

Tagad šeit nāk gudrs bits. Loh norāda, ka skaitļi R un S summējas līdz -B, ja to vidējais rādītājs ir -B/2.

Tāpēc mēs meklējam divus skaitļus formā -B/2±z, kur z ir viens nezināms lielums, viņš saka. Mēs varam šos skaitļus reizināt kopā, lai iegūtu C izteiksmi. Tātad

Tad dod kādu vienkāršu pārkārtošanu

Tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma risinājums ir:

Voilà! Tā ir kvadrātiskā formula.

[Vispārīgāku versiju var iegūt, dalot vienādojumu Ax2+Bx+C=0 ar A, lai iegūtu x2+B/Ax+C/A=0, un pēc tam atkārtojot iepriekš minēto procesu.]

Tas ir ļoti nozīmīgs iepriekšējās metodes uzlabojums, un Loh parāda, kāpēc ar vienkāršu piemēru.

Atrodiet šāda kvadrāta saknes: x2 - 2x+4=0

Tradicionālā metode būtu izstrādāt A, B un C vērtības un pievienot tās kvadrātformulā. Taču Loha pieeja problēmu atrisina intuitīvi. Pirmais solis ir domāt, ka abām vienādojuma saknēm jābūt vienādām ar -B/2±z = 1±z

Un tā kā viņu produktam ir jābūt C=4, mēs varam rakstīt:

Tātad saknes ir

Mēģināt to pašu problēmu, izmantojot tradicionālo metodi, ir daudz sarežģītāk. Turpini, izmēģini! Jaunā pieeja ir daudz vienkāršāka un intuitīvāka, jo īpaši tāpēc, ka tai vispār nav jāiegaumē formula.

Interesants jautājums ir par to, kāpēc neviens iepriekš nav saskāries ar šo metodi un to plaši dalījis.

Los saka, ka viņš 'patiesībā būtu ļoti pārsteigts, ja šī pieeja būtu pilnībā izvairījusies no cilvēka atklājumiem līdz mūsdienām, ņemot vērā 4000 gadu vēsturi par šo tēmu un miljardiem cilvēku, kuri ir saskārušies ar formulu un tās pierādījumiem. Tomēr šī tehnika noteikti nav plaši mācīta vai zināma.

Lohs ir meklējis matemātikas vēsturē pieeju, kas būtu līdzīga viņam, taču nesekmīgi. Viņš ir aplūkojis metodes, ko izstrādājuši senie babilonieši, ķīnieši, grieķi, indieši un arābi, kā arī mūsdienu matemātiķi no renesanses līdz mūsdienām. Šķiet, ka neviens no viņiem nav izdarījis šo soli, lai gan algebra ir vienkārša un pazīstama jau gadsimtiem ilgi.

Tad kāpēc tagad? Los domā, ka tas ir saistīts ar to, kā parastā pieeja pierāda, ka kvadrātvienādojumiem ir divas saknes. Iespējams, iemesls ir tāpēc, ka patiesībā ir matemātiski netriviāli izdarīt apgriezto nozīmi: tam vienmēr ir divas saknes un ka šīm saknēm ir summa −B un reizinājums C, viņš saka.

Lohs, kurš ir matemātikas skolotājs un dažu iezīmju popularizētājs, savu pieeju atklāja, analizējot matemātikas mācību programmas skolēniem ar mērķi izstrādāt jaunus skaidrojumus. Atvasinājums radās no šī procesa.

Tagad jautājums ir par to, cik plaši tas izplatīsies un cik ātri. Lai paātrinātu adopciju, Loh ir izveidojis video par metodi . Jebkurā gadījumā Babilonijas nodokļu kalkulatori noteikti būtu pārsteigti.

Atsauce: arxiv.org/abs/1910.06709 : Vienkāršs kvadrātiskās formulas pierādījums

Labojums: mēs grozījām teikumu, lai teiktu, ka metode nekad iepriekš nav bijusi plaši izplatīta, un iekļāvām Loha citātu.

paslēpties