Kā sarežģīto vektora aprēķinu matemātiku pārvērst vienkāršos attēlos

1948. gadā žurnāls Physical Review publicēja rakstu ar nosaukumu Telpas un laika pieeja kvantu elektrodinamikai Jauns fiziķis vārdā R. P. Feinmens Kornela universitātē. Darbā aprakstīts jauns veids, kā atrisināt elektrodinamikas problēmas, izmantojot matricas. Tomēr šodien to atceras ar daudz jaudīgāku izgudrojumu — Feinmena diagrammu, kas pirmo reizi parādījās drukātā veidā.

Feinmana diagrammām ir bijusi milzīga ietekme fizikā. Tie ir matemātikas attēli, kas apraksta subatomisko daļiņu mijiedarbību. Matemātiski katra mijiedarbība ir bezgalīga virkne, tāpēc pat vienkāršas mijiedarbības starp daļiņām ir fantastiski sarežģīti pierakstīt šādā veidā.

Feinmena ģēnijs bija attēlot šīs sērijas ar vienkāršām līnijām grafiskā formātā, ļaujot zinātniekiem domāt par daļiņu fiziku jaunos un aizraujošos veidos.

Feinmens un citi nekavējoties sāka paplašināt savas idejas, izmantojot šo grafisko saīsinājumu. Patiešām, amerikāņu fiziķis Frenks Vilčeks, kurš 80. gados strādāja ar Feinmanu, reiz rakstīja: Aprēķini, kuru rezultātā 2004. gadā man piešķīra Nobela prēmiju, burtiski nebūtu iedomājami bez Feinmena diagrammām.

Protams, daudzas citas fizikas jomas balstās uz sarežģītu matemātiku. Un tas rada interesantu jautājumu par to, vai uz grafiku balstītas inovācijas varētu vienkāršot šos aprēķinus un, iespējams, uzsākt jaunu inovāciju ēru, tāpat kā Feynman.

Ienāciet Džons Hvi Kims (Jon-Hwi Kim) Seulas Nacionālajā universitātē Dienvidkorejā un pāris kolēģi, kuri ir nākuši klajā ar līdzīgu inovāciju vektora aprēķiniem — uz grafiku balstītu saīsinājumu vienam no visizplatītākajiem un spēcīgākajiem matemātikas rīkiem zinātnē. Mēs paredzam, ka grafiskā vektora aprēķins samazinās šķēršļus vektoru aprēķinu apguvē un praksē, kā to darīja Feinmena diagrammas kvantu lauka teorijā.

Vispirms nedaudz fona. Vektora aprēķini ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar vektoru lauku diferenciāciju un integrāciju. Iemesls, kāpēc tas ir tik svarīgi fizikā, ir tāpēc, ka vairāk vai mazāk visu Visumā var aprakstīt ar vektoru laukiem — elektromagnētiskajiem laukiem, gravitācijas laukiem, šķidruma plūsmu un tā tālāk.

Tāpēc katrs fizikas un inženierzinātņu bakalaura students pavada daudzas laimīgas stundas, cīnoties ar matemātiku un tai nepieciešamajiem noslēpumainajiem apzīmējumiem. Problēma ir tāda, ka vektoru lauki ir sarežģītas vienības — tie piešķir vienu vektoru katram trīsdimensiju telpas punktam un paši var būt sarežģītāku matemātisko objektu, ko sauc par diferencējamiem kolektoriem, reprezentācijas. Tātad pašā vienkāršākajā gadījumā vektoru lauks var būt bezgalīgs vektoru saraksts.

Matemātiķi attēlo šos laukus, izmantojot pieeju, ko sauc par indeksa notāciju. Vektoru var uzrakstīt kā uz kur i = 1, 2 vai 3 trīsdimensiju telpā. Vēl viens veids, kā to uzrakstīt, ir: = [ uz viens, uz divi, uz 3].

Problēmas rodas, kad šie lielumi mijiedarbojas matemātiski. Vektoru laukus var reizināt ar skalāriem vai viens ar otru divos dažādos veidos, kas pazīstami kā punktveida reizinājums un šķērsreizinājums. Un rezultāti var būt fantastiski sarežģīti — milzīgas, daudzdimensiju matricas.

Visos šajos gadījumos ir rūpīgi jāseko iesaistīto vektoru lauku indeksiem. Jebkurš fiziķis zinās, cik viegli ir pazaudēt indeksu, un par sāpēm, kas saistītas ar tā atrašanu

Tad ir izaicinājums noskaidrot, kā šie lauki mainās laika gaitā vai saistībā ar kādu citu mainīgo. Šī ir diferenciācijas problēma, kurai fiziķi ir izstrādājuši virkni rīku, kas pazīstami kā operatori — iespējams, slavenākais ir operators .

Kima un kolēģu paveiktais ir izstrādāt uz grafisku apzīmējumu, kas aizstāj indeksa apzīmējumu. Tie attēlo vektoru kā kastīti, kurai pievienota līnija. Turpretim skalāram nav līniju, kas stiepjas no tā.

Kad divi vektori reizina kopā, izmantojot punktu reizinājumu, rezultāts ir skalārais lielums. Kima un līdzbiedra pieraksts par to parūpējas automātiski. Punktu produktā līnijas, kas saistītas ar diviem vektoriem, savienojas viena ar otru, izveidojot objektu bez ārējām līnijām, citiem vārdiem sakot, skalāru.

Bet krustojums starp diviem vektoriem rada citu vektoru, un atkal Kima un līdzatbildības apzīmējums to apstrādā automātiski. Šķērsprodukta grafika ir y formas forma, un līnijas no diviem vektoriem savienojas ar trešo, kas stiepjas prom. Citiem vārdiem sakot, tas veido vektoru.

Šis ir tikai sākums. Pētnieki turpina aprakstīt plašu citu matemātisko rīku klāstu, piemēram, del operatoru, kā arī dažādas svarīgas identitātes, ko izmanto vektoru aprēķinos. Un viņi paplašina savas idejas uz tenzoriem, kas ir sarežģītāki matemātiski objekti, katrs ar diviem vai vairākiem indeksiem.

Rezultāti liecina par ievērojamu ekonomiju. Kims un kolēģi parāda, kā viņu apzīmējumi pārvērš sarežģītas matemātiskas izteiksmes salīdzinoši vienkāršā grafikā, tāpat kā Feinmena diagrammas. Viņi saka, ka valoda ir ļoti intuitīva un automātiski vienkāršo tenzoriskās izteiksmes.

Šeit ir ievērojama lietderība. Kims un kolēģi saka, ka viņu pieeja pārvērš vektora lauka aprēķinus par vizuālu uzdevumu, piemēram, būvējot ar Lego klucīšiem. Bērns, kas spēlējas ar izglītojošām rotaļlietām, piemēram, Lego klucīšiem vai magnētiskiem nūjām, būs izklaidējošs piedzīvojums “rotālēt ar deju diagrammām”, viņi saka. Tā kā Feinmana diagrammas ir dabiskākā valoda elementārdaļiņu mikroskopiskā procesa aprakstīšanai, grafiskais apzīmējums ir vektora aprēķinu sistēmas kanoniskā valoda.

Tā ir liela prasība ar milzīgu potenciālu. Nav šaubu, ka Feinmana diagrammas ir mainījušas fiziķu domāšanu par daļiņu fiziku. Taču vektora aprēķini ir vēl plašāki, jo tas ir matemātiskais pamats lielai daļai mūsdienu fizikas un inženierzinātņu.

Lielais jautājums ir par to, cik plaši idejas izplatīsies. Tas noteiks, vai šis grafiskais apzīmējums izraisa pārveidojošas izmaiņas mūsu domāšanā par fiziku vai veido ziņkārīgu zemsvītras piezīmi matemātikas izgudrojumu vēsturē. Jebkurā gadījumā Feinmens noteikti būtu uzjautrināts.

Atsauce: arxiv.org/abs/1911.00892 : vektora aprēķinu pastiprināšana ar grafisko apzīmējumu

paslēpties