Šis algoritms var pateikt, kuras skaitļu virknes cilvēkam šķitīs interesantas

Viena no matemātikas ziņkārīgajām īpašībām ir tās skaistums. Bet tieši to, ko matemātiķi domā ar skaistumu, ir grūti aptvert.

Iespējams, slavenākais piemērs ir Eilera sakarība, piemēram i π + 1 = 0, kas atklāj dziļu saikni starp šķietami nesaistītām matemātikas jomām. Piemēram, |_+_| nāk no ģeometrijas, Un un i nāk no algebras, un primitīvi 0 un 1 kopā ar operācijām + un = nāk no skaitļu teorijas. Tas, ka tie ir saistīti tik vienkārši un negaidīti, ir viens no lielākajiem matemātikas pasaules brīnumiem.

Un tas norāda uz citu matemātiskā skaistuma sastāvdaļu: matemātiskajiem modeļiem kaut kādā veidā ir jābūt interesantiem. Šo interesanto modeļu atpazīšana vienmēr ir bijusi unikāla cilvēka spēja.

Taču pēdējos gados mašīnas ir kļuvušas par ļoti spējīgiem rakstu atpazīšanas rīkiem. Patiešām, viņi ir sākuši pārspēt cilvēkus sejas atpazīšanas, objektu atpazīšanas un dažādu spēļu lomu spēlēšanas jomā.

Un tas rada interesantu iespēju: vai mašīnmācības algoritmi var identificēt interesantus vai elegantus matemātikas modeļus? Vai viņi pat varētu būt matemātiskā skaistuma šķīrējtiesneši?

Šodien mēs saņemam sava veida atbildi, pateicoties Chai Wah Wu darbam IBM TJ Watson pētniecības centrā Ņujorkas štatā. Wu ir izveidojis mašīnmācības algoritmu, kas ir iemācījies identificēt noteiktus matemātiskās struktūras elegances veidus un izmantojis to, lai filtrētu interesantas secības no pilnīgi nejaušām secībām.

Tehnika izmanto neparastu datu bāzi, ko sauc par Tiešsaistes veselo skaitļu secību enciklopēdija , kuru sākotnēji 1960. gados izveidoja matemātiķis Nīls Slouns un ievietoja tīmeklī 1996. gadā.

Vesela skaitļa secība ir skaitļu virkne, kas sakārtoti saskaņā ar noteikumu. Slaveni piemēri ir pirmskaitļi — skaitļi, kurus var dalīt tikai ar sevi un 1 ( A000040 ); Fibonači secība, kurā katrs vārds ir iepriekšējo divu terminu summa ( A000045 ); un pat nenozīmīgi piemēri, piemēram, nepāra skaitļu secība vai pirmskaitļi, kas sākas ar 7.

Patiešām, matemātiķi, kas vada OEIS, plaši izmantoja tīklu, meklējot interesantas secības, un tāpēc ir iekļāvuši plašu piemēru klāstu ar tīri kultūras nozīmi. Tajos ietilpst pirmskaitļi, kas satur secību 666, tā saukto zvēra skaitli.

Datu bāze ietver pat pirmskaitļu secību, kas satur skaitli 667 ( A138563 ). Šis skaitlis tika uzskatīts par nozīmīgu, jo, kad faksa aparāti bija izplatīti, cilvēkiem bieži bija faksa numurs, kas bija viņu tālruņa numurs plus 1. Citiem vārdiem sakot, ja viņu tālruņa numurs bija 123-4567, viņu faksa numurs būtu 123-4568. Ar šo domāšanas veidu 667 ir zvēra faksa numurs un līdz ar to kultūras nozīme (redaktori tomēr ir cilvēki).

Mūsdienās Integer Sequence datu bāzē ir aptuveni 300 000 secību, un katru dienu amatieri un profesionāļi iesniedz jaunas, daudzas no tām sniedz mājienus par jaunām un interesantām matemātikas problēmām.

Uzdevums, ko uzņēmās Wu, bija atrast veidu, kā atšķirt šīs interesantās sekvences no nejauši ģenerētajām. Un viņa ideja bija atrast empīriskus likumus, kas varētu darboties kā interesantuma mērauklas, kas tos varētu atšķirt no neinteresantajiem.

Empīriskie likumi nav matemātiskas teorēmas pats par sevi bet ir empīriski novērojumi par attiecībām, kas, šķiet, attiecas uz daudzām dabas un cilvēka radītām datu kopām, saka Vu. Piemēri ietver Mūra likumu elektrotehnikā un 80/20 Pareto principu ekonomikā. Tas, kāpēc šie likumi ir spēkā, nav pilnībā saprotams, bet tie tomēr ir spēkā.

Viens empīrisks princips, kas attiecas uz daudzām datu kopām, ir Benforda likums. To 1881. gadā atklāja kanādiešu matemātiķis un astronoms Saimons Ņūkombs. Ņūkoms atzīmēja, ka logaritmu tabulu grāmatu iepriekšējās lappuses bija biežāk izmantotas nekā vēlākās, kas liecina, ka logaritmi, kas sākas ar ciparu 1, bija biežāki.

Tas viņam lika formulēt principu, ka jebkurā datu kopā vairāk skaitļu sāksies ar 1 nekā jebkurš cits skaitlis. To pašu ideju no jauna atklāja un popularizēja Frenks Benfords pagājušā gadsimta trīsdesmitajos gados.

Benforda likums attiecas uz plašu datu kopu klāstu, piemēram, elektrības rēķiniem, adresēm, akciju cenām un tā tālāk. Tas ir tik paredzams, ka to var izmantot, lai atklātu krāpšanu finanšu kontos. Bet tas neattiecas uz nejaušām sekvencēm. Kāpēc nav skaidri saprotams.

Patiešām, matemātiķi ir atklājuši, ka Benforda likums attiecas uz dažām veselu skaitļu sekvencēm. Bet cik plaši tas tiek piemērots šajās sekvencēs?

Lai noskaidrotu, Vu izmērīja, cik labi likums paredz pirmo ciparu sadalījumu 40 000 secībās, kas nejauši izvēlētas no OEIS datu bāzes.

Izrādās, ka Benforda likums parādās daudz biežāk, nekā gaidīts. Rezultāti liecina, ka daudzas, bet ne visas, secības zināmā mērā atbilst Benforda likumam, saka Vu, kurš atklāja, ka plaši pastāv arī cits empīrisks princips, ko sauc par Teilora likumu.

Nākamais jautājums bija vienkāršs solis tālāk: vai Benforda likumu un Teilora likumu varētu izmantot, lai atšķirtu nejaušās secības no OEIS?

Lai to noskaidrotu, Wu ģenerēja 40 000 nejaušu veselu skaitļu sekvences un pievienoja tās 40 000 secībām, kas atlasītas no OEIS. Pēc tam viņš apmācīja mašīnmācības algoritmu, lai pamanītu OEIS sekvences, izmantojot Benforda likumu un Teilora likumu, un atšķirtu tās no nejaušām sekvencēm.

Rezultāti ir iespaidīgi. Algoritms strādāja ar precizitāti 0,999 un precizitāti 0,9984. Tas ir nozīmīgi, jo tas nodrošina iespēju izmantot automatizētu procesu interesantu secību noteikšanai.

Viens pieteikums ir uzreiz redzams. Matemātiķiem, kas vada OEIS, pašlaik ir jāapstrādā aptuveni 10 000 iesniegumu gadā. Tāpēc varētu būt noderīgs veids, kā automātiski noteikt interesantāko.

Tomēr šai pieejai ir daži būtiski ierobežojumi. Matemātiķi ir definējuši daudzas interesantas un svarīgas secības, kurām ir bezgalīgs terminu skaits, bet kuras ir grūti aprēķināt. Līdz ar to datu bāzē ir tikai daži no šiem terminiem. Tie acīmredzami nav piemēroti šāda veida analīzēm, kas balstītas uz mašīnu.

Plašāks jautājums ir par to, vai šī pieeja matemātikā var identificēt eleganci vai skaistumu. Kā Wu jautā: Vai mašīnmācība var identificēt zinātnisko zināšanu kvalitatīvos atribūtus; i., vai mēs varam pateikt, vai zinātniskais rezultāts ir elegants, vienkāršs vai interesants?

Šis mērķis var nebūt pilnīgi veltīgs. Ja empīriskie likumi, piemēram, Benforda un Teilora likumi, liecina par interesi, kā liecina šis darbs, tad varbūt šo algoritmu vismaz kaut kādā līmenī var uzskatīt par elegances šķīrējtiesnesi.

Eilers, no tā paša nosaukuma attiecības un viens no lielākajiem matemātiķiem vēsturē, noteikti būtu fascinēts.

Atsauce: https://arxiv.org/abs/1805.07431 Vai mašīnmācība var identificēt interesantu matemātiku? Izpēte, izmantojot empīriski novērotus likumus

paslēpties